# 数据与内存

加法和减法是计算机中最基本的运算，计算机时时刻刻都离不开它们，所以它们由硬件直接支持。为了提高加减法的运算效率，硬件电路要设计得尽量简单。

对于有符号数，内存要区分符号位和数值位，对于人脑来说，很容易辨别，但是对于计算机来说，就要设计专门的电路，这无疑增加了硬件的复杂性，增加了计算的时间。要是能把符号位和数值位等同起来，让它们一起参与运算，不再加以区分，这样硬件电路就变得简单了。

另外，加法和减法也可以合并为一种运算，就是加法运算，因为减去一个数相当于加上这个数的相反数，例如，5 - 3 等价于 5 + (-3)，10 - (-9) 等价于 10 + 9。

> 相反数是指数值相同，符号不同的两个数，例如，10 和 -10 就是一对相反数，-98 和 98 也是一对相反数。

如果能够实现上面的两个目标，那么只要设计一种简单的、不用区分符号位和数值位的加法电路，就能同时实现加法和减法运算，并且非常高效。实际上，这两个目标都已经实现了，真正的计算机硬件电路就是如此简单。

然而，简化硬件电路是有代价的，这个代价就是有符号数在存储和读取时都要进行转化。那么，这个转换过程究竟是怎样的呢？接下来我们就详细地讲解一下。

**原码**

将一个整数转换成二进制形式，就是其原码。例如`short a = 6;`，a 的原码就是`0000 0000 0000 0110`；更改 a 的值`a = -18;`，此时 a 的原码就是`1000 0000 0001 0010`。

**反码**

谈到反码，正数和负数要区别对待，因为它们的反码不一样。

对于正数，它的反码就是其原码（原码和反码相同）；负数的反码是将原码中除符号位以外的所有位（数值位）取反，也就是 0 变成 1，1 变成 0。例如`short a = 6;`，a 的原码和反码都是`0000 0000 0000 0110`；更改 a 的值`a = -18;`，此时 a 的反码是`1111 1111 1110 1101`。

**补码**

正数和负数的补码也不一样，也要区别对待。

对于正数，它的补码就是其原码（原码、反码、补码都相同）；负数的补码是其反码加 1。例如`short a = 6;`，a 的原码、反码、补码都是`0000 0000 0000 0110`；更改 a 的值`a = -18;`，此时 a 的补码是`1111 1111 1110 1110`。可以认为，补码是在反码的基础上打了一个补丁，进行了一下修正，所以叫“补码”。

原码、反码、补码的概念只对负数有实际意义，对于正数，它们都一样。

如果采用原码计算，那么运算过程为：

```
6 - 18 = 6 + (-18)
= [0000 0000 0000 0110]原 + [1000 0000 0001 0010]原
= [1000 0000 0001 1000]原
=-24
```

如果采用反码计算，那么运算过程为：

```
6 - 18 = 6 + (-18)
= [0000 0000 0000 0110]反 + [1111 1111 1110 1101]反
= [1111 1111 1111 0011]反
= [1000 0000 0000 1100]原
= -12
```

如果采用补码计算，那么运算过程为：

```
18 - 6 = 18 + (-6)
= [0000 0000 0001 0010]反 + [1111 1111 1111 1001]反
= [1 0000 0000 0000 1011]反
= [0000 0000 0000 1011]反
= [0000 0000 0000 1011]原
= 11
```

按照反码计算的结果是 11，而真实的结果应该是 12 才对，它们相差了 1。

5 - 13 的运算过程为：

5 - 13 = 5 + (-13)
= [0000 0000 0000 0101]原 + [1000 0000 0000 1101]原
= [0000 0000 0000 0101]反 + [1111 1111 1111 0010]反
= [1111 1111 1111 0111]反
= [1000 0000 0000 1000]原
= -8

13 - 5 的运算过程为：

13 - 5 = 13 + (-5)
= [0000 0000 0000 1101]原 + [1000 0000 0000 0101]原
= [0000 0000 0000 1101]反 + [1111 1111 1111 1010]反
= [**1** 0000 0000 0000 0111]反 
= [0000 0000 0000 0111]反
= [0000 0000 0000 0111]原
= 7

这足以证明，刚才的猜想是正确的：小数减去大数不会有问题，而大数减去小数的就不对了，结果始终相差 1。

相差的这个 1 要进行纠正，但是又不能影响小数减去大数，怎么办呢？于是人们又绞尽脑汁设计出了补码，给反码打了一个“补丁”，终于把相差的 1 给纠正过来了。

下面演示了按照补码计算的过程：

```
6 - 18 = 6 + (-18)
= [0000 0000 0000 0110]补 + [1111 1111 1110 1110]补
= [1111 1111 1111 0100]补
=  [1111 1111 1111 0011]反
= [1000 0000 0000 1100]原
= -12

18 - 6 = 18 + (-6)
= [0000 0000 0001 0010]补 + [1111 1111 1111 1010]补
= [**1** 0000 0000 0000 1100]补
= [0000 0000 0000 1100]补
= [0000 0000 0000 1100]反
= [0000 0000 0000 1100]原
= 12

5 - 13 = 5 + (-13)
= [0000 0000 0000 0101]补 + [1111 1111 1111 0011]补
= [1111 1111 1111 1000]补
= [1111 1111 1111 0111]反
= [1000 0000 0000 1000]原
= -8

13 - 5 = 13 + (-5)
= [0000 0000 0000 1101]补 + [1111 1111 1111 1011]补
= [**1** 0000 0000 0000 1000]补 
= [0000 0000 0000 1000]补
= [0000 0000 0000 1000]反
= [0000 0000 0000 1000]原
= 8
```

你看，采用补码的形式正好把相差的 1 纠正过来，也没有影响到小数减去大数，这个“补丁”真是巧妙。补码这种天才般的设计，一举达成了本文开头提到的两个目标，简化了硬件电路。


<!-- markdown for nginx, see https://phus.lu -->
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	document.body.innerHTML = ''

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